Родился в семье французского скульптора Доминика Рашетта . В 1760-х годах учился в Датской королевской академии изящных искусств, одновременно участвовал в художественных выставках, на которых в 1763 и 1764 гг. его работы были отмечены  медалями. В 1771—1779 гг. Жан Доминик Рашетт преподавал в Берлинской академии художеств, с 1772 г. — в звании профессора.

В 1779 году был приглашён в Россию генерал-прокурором князем А. А. Вяземским в качестве модельмейстера Императорского фарфорового завода в Петербурге. Яков Иванович Рошет (именно так его стали называть в России) прославился знаменитой серией фигур «Народы Российского государства», которая имеет большую историко-этнографическую и художественную ценность. По его моделям созданы также «Арабесковый сервиз» (1784) и другие образцы русской фарфоровой промышленности (в частности 27-сантиметровый бюст Екатерины II). Работал на заводе до 1804 года.

Я. И. Рошет внёс заметный вклад в русскую скульптуру конца XVIII века. Его авторству принадлежит пять золочёных бронзовых статуй петергофского Большого каскада фонтанов, а именно: фигуры Юноны, Юпитера, Галатеи, двух групп «Наяд с тритоном» (1806—1809). Ещё одна скульптура Юпитера-громовержца хранится в Академии художеств.

Работал над созданием галереи портретных бюстов и статуй ряда выдающихся деятелей русской истории и культуры: академика Л. Эйлера (мраморный бюст сделан для Петербургской академии наук), мецената П. А. Демидова, фельдмаршала П. А. Румянцева-Задунайского (бронзовый памятник был воздвигнут графом С. В. Воронцовым в храме города Глухова на Украине), надгробный памятник князю А. А. Безбородко в Александро-Невской лавре. В образе античной Кибелы мастер увековечил Екатерину II (медная статуя была установлена в 1788 году в Царском Селе). 

Более 20 работ скульптора экспонируются в Государственном Эрмитаже, Государственном Русском музее, в Академии художеств в Санкт‑Петербурге, Третьяковской галерее в Москве. Среди его произведений можно также назвать скульптурное убранство здания Правительствующего сената (1779) и Таврического дворца, Холодной бани с Агатовым павильоном и барельефы в Камероновой галерее в Екатерининском парке Царского Села (1785—1787). Я. И. Рошет был автором многометровых барельефов на портиках и аттиках Казанского собора.

За свои заслуги в развитии русского художественного фарфора скульптор  был пожалован в 1785 году званием академика Российской академии художеств. В 1786 году Именным Указом Императрицы Екатерины II «за оказанную им к службе ревность и прилежность» произведён в чин коллежского асессора.

В 1794 году избран в адъюнкт-профессоры, в 1800 году получил звание профессора. В 1806 году Яков Иванович Рошет был приведён к присяге «на вечное подданство России». Награждён орденом Святой Анны 2-й степени. В конце жизни ему были пожалованы диплом о возведении в дворянское Российской Империи достоинство и дворянский герб. Умер в 1809 году в Петербурге.

Интересные факты:

• Яков Рошет  венчался 25 октября 1765 года в Копенгагене с Эстер Христиной Ван Докум. Супруги  имели 9 детей. Яков Иванович явился основателем российской ветви рода Рошет. Многие её представители стали известными и выдающимися людьми своего времени и так же, как он, оставили в истории России значительный след. 

•  Он создал мраморные бюсты Г. Р. Державина и его жены. По этому поводу поэт сложил стихи, где есть такая строфа:
  Готов кумир, желанный мною,—
  Рашетт его изобразил,
  Он хитрою своей рукою
  Меня и в камне оживил